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삼각함수(r23 판)

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분류

1. 삼각비[편집]

직각삼각형에서 밑변과 높이의 끼인각을 90°라고 했을 때,
빗변, 밑변, 높이변의 길이의 비를 빗변과 밑변 사이 끼인각의 크기에 따라 나타낸 값이다.

빗변과 높이변이 만나는 점을 AA, 빗변과 밑변이 만나는 점을 BB, 밑변과 높이변이 만나는 점을 CC 라고 하자. 빗변과 밑변 사이 끼인각의 크기를 ∠B\angle B라고 할 때 삼각비의 정의(Definition)는 다음과 같다.
* sin⁡∠B=높이변의 길이빗변의 길이{\sin {\angle B} ={{\text{{\color{blue}높이변}의 길이}}\over{\text{{\color{red}빗변}의 길이}}}} : 사인(sine)
* cos⁡∠B=밑변의 길이빗변의 길이{\cos {\angle B} ={{\text{{\color{green}밑변}의 길이}}\over{\text{{\color{red}빗변}의 길이}}}} : 코사인(cosine)
* tan⁡∠B=높이변의 길이밑변의 길이{\tan {\angle B} ={{\text{{\color{blue}높이변}의 길이}}\over{\text{{\color{green}밑변}의 길이}}}} : 탄젠트(tangent)

상용로그표처럼 0°부터 90°까지의 사인, 코사인, 탄젠트 값을 1°단위로 계산한 값을 나열한 삼각비 표가 있다. 수학 교과서(보통 수학 I) 부록으로 상용로그표와 같이 실려 있으며, 보통 소숫점 아래 다섯자리에서 반올림한 값이다.

2. 삼각함수의 개요[편집]

삼각비는 0도 에서 90도 까지 사용했다면 이제는 예각이 아닌 일반각으로 확장시킨 것이다.

3. 호도법[편집]

원의 중심점을 OO라 하고, 원의 반지름의 길이를 rr이라 하자.(radius of a circle)
원에서 호의 길이는 내부 끼인 각의 크기에 비례하는데, (호의 끼인각이 360° 곧 한 바퀴이면 그 길이는 원 둘레가 되면서 2π×r{\color{blue}2\pi} \times r로 된다는 것에 착안하여 단위가 만들어진다.

세는 기준의 단위인 1을 기준으로 호의 길이가 1×r{\color{blue}1} \times r이 되게 하는 호의 끼인각을 생각해볼 수 있다.

4. 좌표[편집]

좌표에서 x축의 양의 방향에서 시작한다. 반지름이 1인 원을 그리고 그 위에 있는 임의의 점을 P(x, y)\mathrm P \left(x,~y\right)라고 한다. 가운데에서 시계 반대 방향 회전을 각의 양의 방향이라고 하고, 그 각을 θ\theta라고 하면 삼각함수가 만들어진다.
cos⁡θ=xsin⁡θ=ytan⁡θ=yx\begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos\theta &= x \\ \sin\theta &= y \\ \tan\theta &= \dfrac yx \end{aligned} \end{array}
이 식을 조금 변형하면

sec⁡θ=1cos⁡θ=1xcsc⁡θ=1sin⁡θ=1ycot⁡θ=1tan⁡θ=xy\begin{array}{cc}\begin{aligned} \sec\theta &= \dfrac1{\cos\theta} = \dfrac1x \\ \csc\theta &= \dfrac1{\sin\theta} = \dfrac1y \\ \cot\theta &= \dfrac1{\tan\theta} = \dfrac xy \end{aligned} \end{array}
이 된다.


이때, θ\theta는 예각이 아닌 일반각이다.

그렇다면 이제는 반지름이 1이 아닌 r로 정의해보자. 이번에 등장하는 삼각함수는
cos⁡θ=xrsin⁡θ=yrtan⁡θ=yxsec⁡θ=rxcsc⁡θ=rycot⁡θ=xy\begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos\theta &= \dfrac xr \\ \sin\theta &= \dfrac yr \\ \tan\theta &= \dfrac yx \\ \sec\theta &= \dfrac rx \\ \csc\theta &= \dfrac ry \\ \cot\theta &= \dfrac xy \end{aligned} \end{array}

가 된다.