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| 1 | [[분류:수학]] |
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| 2 | [tableofcontents] |
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| 3 | == 개요 == |
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| 4 | 수학에서 [math(x)]가 [math(a)]에 가까워질 때, [math(f(x))]가 한없이 [math(L)]에 가까워지면 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]이다. |
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r4
| 5 | 이때, [math(x)]는 [math(a)]가 무조건 맞지는 않는다. |
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| 6 | |
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r7
| 7 | == 수열 == |
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r8
| 8 | 무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다. |
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r10
| 9 | |
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| 10 | == 엡실론을 이용한 극한의 정의 == |
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| 11 | 고등학교 과정을 넘어가면 그리스 문자 [math(\epsilon)](엡실론), [math(\delta)](델타) 등을 읽으면서 극한의 정의를 엄밀하게 배운다. |
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| 12 | 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "[math(\epsilon)]-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다. |
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| 13 | * 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자. |
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r39
| 14 | * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.) |
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| 15 | * (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.) |
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| 16 | * (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.) |
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| 18 | === 어떤 지점에서의 함수의 극한 (엡실론-델타법) === |
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| 19 | [math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다. |
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| 21 | 들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다. |
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| 22 | ||[math(f\left(x\right))]의 정의역에 대하여 [math(x=a)]가 __[math(D)]의 극한점(limit point)__[*보통위상 실수 전체 집합 [math(\mathbb{R})]에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "[math(\mathbb{R})]에서 열린 구간(이를테면 [math(\left\{x|a<x<b, \ a,b \in \mathbb{R}\right\})])들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합__으로 구성된 [math(\mathbb{R})]의 부분집합을 원소__로 가지는 집합 [math(\mathcal{T})](이 집합은 당연히 [math(\mathcal{P}(\mathbb{R}))]의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다. 고등학교 과정에서 배우는 극한은 특별한 언급이 없다면 모두 보통위상에서의 극한이다.]일 것.|| |
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| 23 | |
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| 24 | [math(x=a)]가 "[math(D)]의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 [math(a \in D)]일 필요는 없다.) |
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| 25 | ||임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 |
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r32
| 26 | [math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
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r41
| 27 | 임을 보여야한다. |
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| 29 | 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 [math(x)]의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역 [math(D)]가 복잡하게 제한되는 경우가 있다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다. |
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| 30 | 그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 [math(x)]의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다. |
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| 31 | |
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| 32 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이어도 충분하다. 왜냐면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 __곧 극한점이 되기 때문__이다. 자세한 이유는 [[#극한점 전제조건|아래 하위 문단의 내용]] 참조. |
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| 33 | |
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| 34 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다. |
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| 35 | ||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여 |
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r55
| 36 | 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 '''e'''rror를 생각해보자.) |
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| 37 | 상수 [math(L \in \mathbb{R})]에 대하여 다음 명제 곧 |
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| 38 | > __[math(x \in D)]이고__ [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면[* 이는 [math(0 < \left\| x-a \right\| < \delta)]와 동치이며, 여기에서 꼭 [math(x=a)]__일 필요는 없음__이 나타닌다.] |
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| 39 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.[* 이는 [math({\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon)]와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호([math(0\leq )]) 부분은 [math(f \left(x \right))]와 [math(L)]의 오차가 [math(0)]으로 나오는 경우([math(f \left(x \right)=L)]이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 [math(x)]의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.] |
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| 40 | 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 양수 [math(\delta)]를 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 '''d'''ifference를 생각해보자.) |
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| 41 | |
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| 42 | 함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 [math(L)]로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]으로 표기한다. |
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| 43 | |
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| 44 | 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 '''발산한다'''고 말한다. || |
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| 45 | 이해를 돕기 위해 "수렴한다", "발산한다"라는 표현을 하였으며, 원래는 이보다 "함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 {{{#blue 극한을 가진}}}다.(A function [math(f\left(x\right))] {{{#blue has a limit}}} at [math(x=a)])" 라는 말로 더 많이 표현한다. |
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| 46 | |
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| 47 | 기호들을 사용하면 다음과 같다. |
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| 48 | ||[math(f:D\left(\subset\mathbb{R}\right) \to \mathbb{R},\ \ a \in D^{\prime})] (여기서 [math(D^{\prime})]는 [math(D)]의 모든 극한점들을 모아놓는 집합이다.) |
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| 49 | [math(\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L}\\ |
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| 50 | \Longleftrightarrow \exist L \in \mathbb{R}\ \text{such as}\ \forall \epsilon >0,\ \exist \delta > 0 \ \text{such as} \\ |
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| 51 | x \in D,\ 0< \left\|x-a\right\| < \delta \Longrightarrow \left\| f(x)-L\right\| < \epsilon)]|| |
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| 52 | ==== 참고사항1 ==== |
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| 53 | {{{+2 내점이면 극한점이 되는 이유}}} |
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| 54 | |
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| 55 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이라고 하면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 됨을 보이자. |
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| 56 | |
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| 57 | {{{+1 '''1.'''}}} 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다. |
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| 58 | ||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)] |
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| 59 | 를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.|| |
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| 60 | |
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| 61 | {{{+1 '''2.'''}}} '''1.'''에서 다음을 만족한다. |
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| 62 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]|| |
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| 63 | |
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| 64 | {{{+1 '''3.'''}}} '''2.'''의 집합의 원소로는 [math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균인 [math(\displaystyle{{{\left(a-c_{1}\right)+a}\over {2}}})]을 생각할 수 있으며. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많으면서 [math(D)]의 원소이다. |
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| 65 | 따라서 다음을 만족한다. |
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| 66 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
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| 67 | |
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| 68 | {{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 [math({\color{green}c_{2}} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math({\color{green}c_{2}} )]에 대하여 |
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| 69 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]|| |
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| 70 | 이 되며, 다음 집합은 ([math(a-c_{2})]보다 크면서 [math(a)]보다 작은 실수는 무수히 많으면서도) [math(D)]의 부분집합이며 또한 공집합이 아니다. |
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| 71 | ||[math(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\})]|| |
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| 72 | |
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| 73 | 따라서 다음을 만족한다. |
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| 74 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\}\right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
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| 75 | |
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| 76 | {{{+1 '''5.'''}}} 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math({\color{red}c_{3}})]를 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]중 작은 값으로 두자. |
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| 77 | 여기서 다음을 보이고자 한다. |
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| 78 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
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| 79 | |
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| 80 | {{{+1 '''6.'''}}} '''5.'''에서 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]의 대소는 [math({\color{blue}c} > c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} = c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} < c_{1})] 이다. |
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| 81 | |
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| 82 | {{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} \leq c_{1})]이라고 하자. |
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| 83 | 그러면 [math({\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}\leq c_{1})]이 된다. |
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| 84 | 이 때 '''4.'''와 같은 방법으로 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}})] 으로 두면 다음의 식을 만족한다. |
|---|
| 85 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}}<x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
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| 86 | 여기서 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}}={\color{blue}c})]이 되었으므로 다음이 성립한다. |
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r36
| 87 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
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| 88 | |
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| 89 | {{{+1 '''8.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} > c_{1})]이라고 하자. |
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| 90 | 그러면 '''1.'''에서 |
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| 91 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))] |
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| 92 | [math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]|| |
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| 93 | 이 된다. 여기에서 다음이 성립한다. |
|---|
| 94 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)] |
|---|
| 95 | [math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]|| |
|---|
| 96 | |
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| 97 | 이 때 '''2.''', '''3.'''에서 |
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| 98 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
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| 99 | 가 성립한다. |
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| 100 | |
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| 101 | 공집합이 아닌 다음 집합인 |
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| 102 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]|| |
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| 103 | 을 포함하는 집합 곧 |
|---|
| 104 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]|| |
|---|
| 105 | 은 공집합이 아니므로 다음 식이 성립된다. (공집합이 아닌 집합을 포함하는 집합은 공집합이 아니다.) |
|---|
| 106 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
|---|
| 107 | |
|---|
| 108 | {{{+1 '''9.'''}}} '''7.'''과 '''8.'''에 따라 다음이 성립된다. |
|---|
| 109 | ||임의의 [math({\color{blue}c})]에 대하여 |
|---|
| 110 | [math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
|---|
| 111 | |
|---|
| 112 | 따라서 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다. |
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| 113 | |
|---|
r46
| 114 | 참고로, __주의할 점이 있는데 [math(D)]의 극한점이라고 해서 [math(D)]의 내점이 되지는 않__는다. 만일 [math(D)]가 [math(\mathbb{R})]의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합(곧 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})])이고 여기서 임의의[math(x=p)] 지점을 가져왔다고 하자. |
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r43
| 115 | 임의의 양수 [math(c)]에 대하여 다음 집합인 |
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| 116 | ||[math(\left\{x|p-c<x<p+c\right\})]|| |
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| 117 | 를 보자. |
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| 118 | 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이 되어도 무수히 많은 유리수가 존재하면서도 이들은 모두 [math(D)]의 원소이다. 따라서 [math(D)]의 원소에 해당되는 모든 [math(x)]의 지점은 [math(D)]의 극한점이 된다. |
|---|
| 119 | 한편, 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이라도 __무수히 많은 무리수__가 존재하며, 따라서 위 집합은 [math(D)]의 부분집합이 될 수 없다. 따라서 [math(D)]의 원소에 해당되는 모든 [math(x)]의 지점은 [math(D)]의 내점이 아님을 알 수 있다. |
|---|
r46
| 120 | (여담으로 [math(\mathbb{Q})]의 극한점들을 모아놓은 집합은 [math(\mathbb{R})]이 된다.) |
|---|
| 121 | |
|---|
r41
| 122 | ------- |
|---|
| 123 | {{{+2 수렴하는 극한의 유일성}}} |
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r42
| 124 | |
|---|
r41
| 125 | 극한이 [math(L)]로 수렴할 경우, 유일(unique)하다. (여기 보통위상[*보통위상]에서는. [[위상]]이 어떤 구성으로 되어있느냐에 따라 수렴하는 극한값이 유일하지 않을 수 있다.) |
|---|
r4
| 126 | |
|---|
r48
| 127 | {{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를(Suppose that) 서로 다른 두 실수 [math(L_{1})]과 [math(L_{2})]에 대하여 [math(L_{1} < L_{2})]이면서 |
|---|
r47
| 128 | ||[math(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{1}})]이고 [math(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{2}})]|| |
|---|
| 129 | 라고 하자. (곧 [math(x \to a)]의 극한값이 둘이라고 하자.) |
|---|
| 130 | |
|---|
| 131 | {{{+1 '''1.'''}}} 그러면 함수의 정의에 따라 [math(L_{1})]과 [math(L_{2})]에 따른 임의의 두 양수 [math(\epsilon_{1})], [math(\epsilon_{2})]에 대하여 ([math(\epsilon_{1})], [math(\epsilon_{2})]이 그 어떤 값이라도) 적당한 양수 [math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]가 존재하여 다음을 만족한다. 다시 말해, 다음 두 명제는 참이 된다. |
|---|
| 132 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1})]이면 |
|---|
| 133 | >[math(L_{1}-\epsilon_{1}< f\left(x\right) < L_{1}+\epsilon_{1})]이다. |
|---|
| 134 | >------- |
|---|
| 135 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2})]이면 |
|---|
| 136 | >[math(L_{2}-\epsilon_{2}< f\left(x\right) < L_{2}+\epsilon_{2})]이다. |
|---|
| 137 | |
|---|
| 138 | {{{+1 '''2.'''}}} 이 때 양수 [math(\epsilon)]을 |
|---|
| 139 | ||[math(\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}})]|| |
|---|
| 140 | 을 만족하는 적당한 값으로 두자. |
|---|
| 141 | |
|---|
| 142 | {{{+1 '''3.'''}}} 이 때 '''2.'''에서 [math(\epsilon_{1}={\color{blue}\epsilon})], [math(\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon})]으로 두어도 '''1.'''에 따라 적당한 양수 [math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]가 존재하여 다음을 만족한다. |
|---|
| 143 | ([math(\epsilon_{1}=\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon})]을 대입한 것이며, 두 명제는 참이 된다.) |
|---|
| 144 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1})]이면 |
|---|
| 145 | >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]이다. |
|---|
| 146 | >------- |
|---|
| 147 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2})]이면 |
|---|
| 148 | >[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다. |
|---|
| 149 | |
|---|
r48
| 150 | {{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 양수 [math(\delta)]를 [math(\delta_{1})]과 [math(\delta_{2})] 중 작은 값으로 결정하면 다음 역시 만족한다.([math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]을 [math({\color{red}\delta})]으로 바꾼 것이며 두 명제는 참이 된다.) |
|---|
r47
| 151 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면 |
|---|
| 152 | >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]이다. |
|---|
| 153 | >------- |
|---|
| 154 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면 |
|---|
| 155 | >[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다. |
|---|
| 156 | |
|---|
r50
| 157 | {{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (충분조건이 동일하므로, 필요조건만을 합치면 된다.) |
|---|
r47
| 158 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면 |
|---|
| 159 | >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다. |
|---|
| 160 | |
|---|
| 161 | {{{+1 '''6.'''}}} 이 때('''5.'''에서) 모순(contradiction)이 발생한다. |
|---|
| 162 | 왜냐면 '''5.'''의 결론부분인 |
|---|
| 163 | >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다. |
|---|
| 164 | 에서 다음 두 집합 |
|---|
| 165 | [math(D_{1}=\left\{ y | L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}\right\})] |
|---|
| 166 | [math(D_{2}=\left\{ y | L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}\right\})] |
|---|
| 167 | 을 정의하면 |
|---|
| 168 | [math(D_{1})]와 [math(D_{2})]는 서로 소이기 때문이다. |
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| 169 | * 더 자세히 말하자면, [math(D_{1})]의 모든 지점은 [math(L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]보다 작은 값의 지점이며 [math(D_{2})]의 모든 지점은 [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon})]보다 큰 값의 지점이다. |
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| 170 | * '''2.'''에서 [math(\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}})]이므로 ([math(L_{2})]와 [math(L_{1})]의 차이의 절반보다 작은 값이다.) |
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| 171 | [math(L_{1}+{\color{blue}\epsilon} < L_{2}-{\color{blue}\epsilon})] |
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| 172 | 이므로 [math(D_{1})]의 그 어느 점도 [math(D_{2})]의 원소가 될 수 없으면서 [math(D_{2})]의 그 어느 점도 [math(D_{1})]의 원소가 될 수 없다. |
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| 173 | |
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| 174 | 따라서 '''5.'''의 명제는 '''거짓이 되는 모순이 생긴다.''' |
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| 175 | |
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r49
| 176 | {{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 '''0.'''이 거짓이 된다. 곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 __귀류법에 따라__ 수렴하는 극한의 유일성이 증명된다. |
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r47
| 177 | |
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r41
| 178 | ------- |
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r42
| 179 | [anchor(극한점 전제조건)]{{{+2 극한점임이 전제되어야 하는 이유}}} |
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| 180 | |
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r41
| 181 | 결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다. |
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r5
| 182 | |
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r51
| 183 | {{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없다고 하자. |
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| 184 | |
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| 185 | {{{+1 '''1.'''}}} 그럼 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 __아닌 경우__가 존재한다. |
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| 186 | |
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r52
| 187 | {{{+1 '''2.'''}}} 극한점의 조건을 보자. |
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| 188 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점인 조건은 다음과 같다. |
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r41
| 189 | ||임의의 양수 [math(c)]에 대하여 |
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r21
| 190 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
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r52
| 191 | |
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r41
| 192 | 이 명제의 부정은 |
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| 193 | ||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여 |
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r27
| 194 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]|| |
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r41
| 195 | 이 된다. |
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| 196 | |
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r52
| 197 | {{{+1 '''3.'''}}} 함수의 극한의 정의에서 다음 명제를 보자. |
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r41
| 198 | > [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면 |
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| 199 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. |
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r21
| 200 | |
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r52
| 201 | {{{+1 '''4.'''}}} '''1.'''의 경우(충분히 나올 수 있다) '''2.'''를 만족하는 [math(c)]를 가져와서 '''3.'''의 [math(\delta)]를 [math(\delta \leq c)]를 만족하는 적당한 값으로 두자.([math(\delta)]를 충분히 작은 값으로 잡자.) |
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r37
| 202 | |
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r51
| 203 | 그러면 [math(L)]의 값과 관계 없이 '''3.'''에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다. |
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r52
| 204 | ||1. [math(x \in D)] |
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| 205 | 2. [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]|| |
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| 206 | 따라서 '''가정이 거짓이 되며''', 가정이 거짓인 이유로 '''명제가 전체적으로 참'''이 되버리는 오류가 발생한다. |
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r51
| 207 | |
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| 208 | {{{+1 '''5.'''}}} 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다. |
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| 209 | |
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r41
| 210 | 그러므로 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다. |
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| 211 | |
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r30
| 212 | === 수열의 극한 === |
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r13
| 213 | 무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f(x))]가 자연수 [math(n)]에 대한 함수 [math({\color{green}a_{n}})]으로 바뀌었다고 생각해보자.) |
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| 214 | ||무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]에 대하여 |
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| 215 | 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 |
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| 216 | 상수 [math(L)]에 대하여 다음 명제 곧 |
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| 217 | > 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(n>{\color{blue}M})]이면 |
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| 218 | > [math(L-\epsilon< {\color{green}a_{n}} < L+\epsilon)]이다. |
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r16
| 219 | 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 자연수 [math({\color{blue}M})]을 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("최소한의"라는 뜻의 Minimal을 생각해보자. 교과서에 따라 [math(M)]을 [math(N)]으로 표기하기도 한다.) |
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r13
| 220 | |
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| 221 | 무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]은 [math(L)]으로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\color{green}a_{n}}=L)]으로 표기한다. |
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| 222 | |
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| 223 | 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, 무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]은 '''발산한다'''고 말한다. || |
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| 224 | |
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r17
| 225 | 이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, [math(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{{1}\over {n}}=0)]의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 [math({{1}\over {n}})], [math({{1}\over {n^2}})], [math({{1}\over {n^3}})] 등으로 바꿀 수 있는 부분은 [math(0)]으로 --안심하고--날릴 수 있다. 다만 0으로 나누는 식이 되지 않도록 주의하자.) |
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r13
| 226 | |
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r15
| 227 | 극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 [math(a_{n}=)][math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(\ldots)]에 대하여 "[math(0)]과 [math(1)]이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 [math({{1}\over{2}})]가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만. |
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r14
| 228 | |
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